【轉發(fā)說明】

本文為 北大附中退休數(shù)學教師王鵬遠老師為紀念中國計算機輔助教學領路人、畢生致力于用信息化推動教育變革的 北京大學 林建祥先生所寫的一篇文章。

王鵬遠老師在國內是最早一批研究計算機輔助數(shù)學教學、并長期開展一線教學實踐的數(shù)學教育技術研究者、實踐者，在MathTool、《幾何畫板》、《超級畫板》等數(shù)學工具如何在教學中應用大量、深入的研究，著有 《如何用幾何畫板教數(shù)學》、《少年數(shù)學實驗》等多本著作。

(相關資料圖)

我在剛開始工作時，就與林建祥先生、王鵬遠老師有很多交流，直到林先生千古之前的兩年，我還和王鵬遠老師到林先生家看望，留下了我與林先生的最后一張合影（中為林建祥先生，左為王鵬遠老師，右圖為我）。

前日王鵬遠老師向我發(fā)來他的這篇紀念文章，特在我的公眾號轉發(fā)，共同緬懷林建祥老先生。如您也與林建祥先生有所交集，歡迎文后留言，共同奠念！

以下為王鵬遠老師所撰寫的原文。

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林先生走了，但他和善的音容笑貌總是揮之不去，不時浮現(xiàn)在眼前。他對教育事業(yè)的忠誠與執(zhí)著追求，他對人們的熱情相助平易近人的品格永遠銘刻在我們的記憶之中。

我與林先生是1990年相識的，是他把我這樣一個計算機的門外漢，一個普通的中學數(shù)學教師領進門，開啟了30多年計算機與數(shù)學學科整合的實踐探索，30多年以來，林先生一直給我以熱情的指導、鼓勵和支持，我的點滴進步與取得的成績是與林先生分不開的。

教育信息化是我國21世紀教育改革的一個重大工程，而信息技術與學科教學的有效融合又是其中一個十分重要的課題，從這個角度看，林先生與他領導的北大CAI研究室應該被視為信息技術與數(shù)學學科整合的開拓者和領路人。如果追述這個領域的源頭，作為親歷者，我以為應該從Mathtool談起，現(xiàn)在沒有人再提起它（或許根本不知道曾有這個工具軟件）。

還是在1990 年，北京大學電教中心的林建祥 和朱萬森 教授第一次給我們中學老師展示了計算機課件。我們第一次看到了二次函數(shù)圖像如何隨系數(shù)的變化而變化，第一次聽到 CAI ( 計算機輔助教學) 這個名詞，眼界一下子打開了。接著我們寫腳本由北大的老師幫助我們制作課件，不久, 我們也可以借助Mathtool 自己制作一些簡單的課件了。

Mathtool拉近了一線數(shù)學教師與計算機的距離，教師無需編程可以借助于這個工具自己開發(fā)課件。這件事意義重大、影響深遠，它陸續(xù)把越來越多的一線數(shù)學教師帶入到這個領域，成為信息技術與學科整合的主力軍。教師可以根據(jù)教學的需要把信息技術引入課堂，取得良好的教學效果。

我還記得第一個用Mathtool開發(fā)的課件是“ 冪函數(shù)的圖像和性質”（如下圖），針對的是教學的難點，學生不容易理解冪函數(shù)中對冪函數(shù)的圖像和性質的影響， 整理不出規(guī)律。

計算機準確快速的畫圖大大提高了課堂效率，同時圖像的動態(tài)顯示直觀揭示了冪函數(shù)的性質，取得了滿意的教學效果，深受學生歡迎。

當然，信息技術與數(shù)學學科的整合不是一帆風順的，其中一個爭論不休的問題是 如何處理數(shù)學的抽象，記得 93年一天中午回家的路上，林先生和我討論這個問題，林先生說，就是在北大，一些數(shù)學系的教授也不贊成在教學中使用計算機，理由是數(shù)學是高度抽象的學科，計算機在這里起不了什么積極作用。我與林先生取得的共識是，不妨先擱置爭論做起來再說，也許通過一段教學實踐返回來討論會對爭論的問題有進一步的認識，一個原則是計算機應能有助于加深學生的數(shù)學思考，幫助學生理解抽象的數(shù)學概念。

當時我正在教高二，需要講解數(shù)列的極限。于是設計了腳本，利用Mathtool 開發(fā)出課件“ 數(shù)列的極限”，隨后在北京大學電教中心網(wǎng)絡教室進行了教學實驗。實踐表明，學生通過使用這個課件理解了數(shù)列極限的 “ε-N”定義，取得了意想不到的好的教學效果。

數(shù)列極限的“ε-N”定義是公認的教學難點，但現(xiàn)在 借助計算機這個困難居然被克服了。這給了我們極大的鼓舞。 我們在1994 年12 期“數(shù)學通報”上發(fā)表了 《從教學軟件“數(shù)列的極限”引發(fā)的思考》一文中談了我們的體會。這是國內在學術期刊上第一次討論計算機在數(shù)學教學中如何處理抽象的數(shù)學概念的文章。

這個軟件的使用效果給我們的啟發(fā)是深刻的。它說明計算機能夠改善數(shù)學概念的教學，我們的體會是：

1、通過電腦“一對一 ”的教學，實現(xiàn)教學的個別化 ，一改過去學生“聽老師講”，過分依賴教師的語言去思考的學習方式。學生可以根據(jù)適合自己的節(jié)奏主動閱讀和思考。課件相當于教師的代言人，在和每一位同學進行“一對一”的交流，而學生在教師借助電腦設計的更富有啟發(fā)性的教學情境中直接去思考數(shù)學事實本身。學生在這里動手、動腦、觀察、思考、閱讀、討論、質疑，其學習內容和思維活動比傳統(tǒng)課堂要豐富得多。教師通過計算機調動了所有學生的積極參與，自己去想通極限的概念。

2、 設置問題情境并提供生動直觀的背景材料，“可視化”有助于抽象概念的理解

數(shù)學離不開抽象，而抽象是個復雜的思維過程。離開具體的抽象，只能使數(shù)學概念成為空洞的文字與數(shù)學符號的組合，越是抽象的概念越要從最現(xiàn)實的問題出發(fā)，越需要感性直觀的背景材料幫助理解，數(shù)列極限的概念也是這樣。

為讓學生理解無限制地靠近常數(shù)A，我們讓計算機一個一個地在數(shù)軸上顯示對應前幾個點，當這些點與表示常數(shù)A的點足夠近時，屏幕上有這樣一句話“隨著n的增加，這一系列點與表示常數(shù)A的點足夠靠近，以至于我們不得不用放大鏡觀察”，隨后屏幕出現(xiàn)一個模擬的 放大鏡把數(shù)軸的這一部分局部放大，繼續(xù)反映 逼近常數(shù)A的過程。于是學生就可以通過一系列的數(shù)字和點列“看到”數(shù)列趨向某一常數(shù)的過程。計算機的可視化與快速計算功能顯示出了特有的優(yōu)勢。

3、創(chuàng)設人機交互的數(shù)學實驗環(huán)境

在通過直觀形象的例子初步建立數(shù)列極限的概念之后，難點在于如何理解形式化表達的數(shù)列極限定義中的“對于事先給定的無論多么小的正數(shù)ε，都存在一個正整數(shù)N，當時不等式恒能成立。”在傳統(tǒng)課堂上，我們通常令ε=0.1、 0.01等等，很難體現(xiàn) ε的任意性。利用計算機則可以輸入任意小的整數(shù)得到相應的 N和隨后的幾項的數(shù)值。

我們安排了以下一個練習題：

除了在計算機屏幕上呈現(xiàn)這個數(shù)列的前10項并在數(shù)軸上描出表示這10項的點外，屏幕上還提示學生做下面的實驗；“請鍵入你認為很小的正數(shù)ε并觀察相應的N，以及N以后五項與的誤差。”于是學生可以自由地做實驗，直到他們認可了對于事先給定的無論多么小的正數(shù)ε，都存在一個正整數(shù)N，第

例如學生在鍵入了ε=0.007564后，屏幕馬上呈現(xiàn)下面的表 (N=32)

在這以后學生可以根據(jù)自己的需要在屏幕上看到嚴格的證明過程。連續(xù)三年在我的教學中使用了這個課件都取得了良好的效果。

這個課件的設計得到了林先生的指導， 他提出借助計算機創(chuàng)設“微世界”以及數(shù)學實驗的環(huán)境給了我設計的靈感。

1994 年，實驗開始擴大，在原教育部中小學計算機教育研究中心（北京部）的支持下由海淀區(qū)四所學校成立了海淀數(shù)學CAI課題組。這個課題組的活動內容包括由朱萬森教授教會教師Mathtool的技術操作，輪流組織研究課相互交流。

當時北京大學的林建祥教授、北京師范大學的鐘善基教授、教育部中小學計算機教育研究中心（北京部）副主任唐玲老師等專家都親臨課堂聽課，具體指導，與老師們面對面地討論。我們走的是一條密切結合學科教學關注教學實效之路，是一條由專家引領一線教師積極參與之路。下圖是林先生深入課堂觀摩教學后進行點評的照片。

技術在飛速地進步，1995 年“ 幾何畫板”軟件引入我國，它把動態(tài)幾何引入了數(shù)學教學，我們課題組在全國率先進行了這一工具軟件的實驗，在此基礎上 98 年編寫了 《如何用幾何畫板教數(shù)學》一書由人民教育出版社出版。林先生看到了這一工具的優(yōu)勢大力宣傳這一工具軟件并繼續(xù)支持我們的實驗。

這里值得一提的是林先生敏銳地注意到我國數(shù)學家吳文俊院士在幾何定理的機器證明方面開創(chuàng)性的工作，以及隨后張景中院士在機器證明可視化方面的創(chuàng)新，把我介紹給張景中院士，這樣我得以在2000 年之后的20 年間協(xié)助張院士推廣國產(chǎn)軟件 “超級畫板”。

我們的工作受到有關方面的關注，98年我受邀在教育電視臺開辦講座對教師進行培訓，下圖是林先生和我共同參與講座的照片，討論信息技術如何能與學科教學進行有效整合。

林先生思想敏銳，視野開闊，從Mathtool到幾何畫板，再到超級畫板和網(wǎng)絡畫板以及人工智能，他總是追蹤技術發(fā)展的前沿，及時給我們提供最新信息，不時打電話了解我們工作的進展，給我們提供盡可能的幫助。例如，他促使惠普公司一次無償給北大附中提供50多臺圖形計算器，希望我們學校做出成績。

林先生活到老，學到老、奮斗到老，他把一生貢獻給他摯愛的教育事業(yè)。我永遠不能忘記他90多歲高齡，還積極參加學術會議，把我們邀請到家中與我們進行一次次學術探討。他的人格魅力永遠是我們學習的榜樣。

林先生走了，他給我們留下了豐富的精神遺產(chǎn)。林先生千古！